目录
基本公式积分法换元积分法第一换元积分法第二换元积分法
分部积分法公式怎么用？—— 适用的函数类如何用？—— u, v 的选取
三种常见“积不出”的积分三类常见可积函数积分
基本公式
(
1
)
∫
0
d
x
=
C
(
3
)
∫
1
x
d
x
=
ln
∣
x
∣
+
C
(
5
)
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
(
7
)
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
(
9
)
∫
csc
2
x
d
x
=
−
cot
x
+
C
(
11
)
∫
csc
x
cot
x
d
x
=
−
csc
x
+
C
(
13
)
∫
1
1
+
x
2
d
x
=
arctan
x
+
C
(
15
)
∫
d
x
a
2
+
x
2
=
1
a
arctan
x
a
+
C
(
17
)
∫
d
x
x
2
+
a
2
=
ln
(
x
+
x
2
+
a
2
)
+
C
(
19
)
∫
sec
x
d
x
=
ln
∣
sec
x
+
tan
x
∣
+
C
(
2
)
∫
x
α
d
x
=
1
α
+
1
x
α
+
1
+
C
(
α
≠
−
1
)
(
4
)
∫
a
x
=
a
x
ln
a
+
C
(
a
>
0
,
a
≠
1
)
(
6
)
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
(
8
)
∫
sec
2
x
d
x
=
tan
x
+
C
(
10
)
∫
sec
x
tan
x
d
x
=
sec
x
+
C
(
12
)
∫
1
1
−
x
2
d
x
=
arcsin
x
+
C
(
14
)
∫
d
x
a
2
−
x
2
=
arcsin
x
a
+
C
(
16
)
∫
d
x
x
2
−
a
2
=
1
2
a
ln
∣
x
−
a
x
+
a
∣
+
C
(
18
)
∫
d
x
x
2
−
a
2
=
ln
(
x
+
x
2
−
a
2
)
+
C
(
20
)
∫
csc
x
d
x
=
−
ln
∣
csc
x
+
cot
x
∣
+
C
\begin{aligned} &(1)\ \int0dx=C \\ &(3)\ \int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C \\ &(5)\ \int e^xdx=e^x+C \\ &(7)\ \int\cos xdx=\sin x+C \\ &(9)\ \int\csc^2xdx=-\cot x+C \\ &(11)\ \int\csc x\cot xdx=-\csc x+C \\ &(13)\ \int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x +C\\ &(15)\ \int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} +C\\ &(17)\ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}= \ln(x+\sqrt{x^2+a^2}) +C \\ &(19)\ \int\sec xdx=\ln|\sec x+\tan x| +C \\ \end{aligned} \qquad \begin{aligned} &(2)\ \int x^\alpha dx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1} +C\ (\alpha\ne-1) \\ &(4)\ \int a^x=\frac{a^x}{\ln a} +C\ (a>0,\ a\ne1) \\ &(6)\ \int\sin xdx=-\cos x +C \\ &(8)\ \int\sec^2 xdx=\tan x +C \\ &(10)\ \int\sec x\tan xdx=\sec x +C \\ &(12)\ \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x +C \\ &(14)\ \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a} +C \\ &(16)\ \int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}| +C \\ &(18)\ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}= \ln(x+\sqrt{x^2-a^2}) +C \\ &(20)\ \int\csc xdx=-\ln|\csc x+\cot x| +C \\ \end{aligned}
(1) ∫0dx=C(3) ∫x1dx=ln∣x∣+C(5) ∫exdx=ex+C(7) ∫cosxdx=sinx+C(9) ∫csc2xdx=−cotx+C(11) ∫cscxcotxdx=−cscx+C(13) ∫1+x21dx=arctanx+C(15) ∫a2+x2dx=a1arctanax+C(17) ∫x2+a2
dx=ln(x+x2+a2
)+C(19) ∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C(2) ∫xαdx=α+11xα+1+C (α=−1)(4) ∫ax=lnaax+C (a>0, a=1)(6) ∫sinxdx=−cosx+C(8) ∫sec2xdx=tanx+C(10) ∫secxtanxdx=secx+C(12) ∫1−x2
1dx=arcsinx+C(14) ∫a2−x2
dx=arcsinax+C(16) ∫x2−a2dx=2a1ln∣x+ax−a∣+C(18) ∫x2−a2
dx=ln(x+x2−a2
)+C(20) ∫cscxdx=−ln∣cscx+cotx∣+C
积分法
换元积分法
第一换元积分法
设
∫
f
(
u
)
d
u
=
F
(
u
)
+
C
，
u
=
φ
(
x
)
\displaystyle\int f(u)du=F(u)+C，u=\varphi(x)
∫f(u)du=F(u)+C，u=φ(x)存在连续导数，则
∫
f
[
φ
(
x
)
]
φ
′
(
x
)
d
x
=
∫
f
[
φ
(
x
)
]
d
φ
(
x
)
=
F
[
φ
(
x
)
]
+
C
\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=\int f[\varphi(x)]d\varphi(x)=F[\varphi(x)]+C
∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f[φ(x)]dφ(x)=F[φ(x)]+C 使用这种方法的关键在于将
∫
f
(
x
)
d
x
\displaystyle\int f(x)dx
∫f(x)dx凑成
∫
f
[
φ
(
x
)
]
φ
′
(
x
)
d
x
\displaystyle\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx
∫f[φ(x)]φ′(x)dx。 常见的凑微分形式：
(
1
)
∫
f
(
a
x
+
b
)
d
x
=
1
a
∫
f
(
a
x
+
b
)
d
(
a
x
+
b
)
(
2
)
∫
x
m
f
(
a
x
m
+
1
+
b
)
d
x
=
1
(
m
+
1
)
a
∫
f
(
a
x
m
+
1
+
b
)
d
(
a
x
m
+
1
+
b
)
(
m
≠
−
1
)
(
3
)
∫
f
(
x
)
d
x
x
=
2
∫
f
(
x
)
d
(
x
)
;
(
4
)
∫
f
(
e
x
)
e
x
d
x
=
∫
f
(
e
x
)
d
(
e
x
)
;
(
5
)
∫
f
(
ln
x
)
1
x
d
x
=
∫
f
(
ln
x
)
d
(
ln
x
)
(
6
)
∫
f
(
sin
x
)
cos
x
d
x
=
∫
f
(
sin
x
)
d
(
sin
x
)
(
7
)
∫
f
(
cos
x
)
sin
x
d
x
=
−
∫
f
(
cos
x
)
d
(
cos
x
)
(
8
)
∫
f
(
tan
x
)
1
cos
2
x
d
x
=
∫
f
(
tan
x
)
d
(
tan
x
)
(
9
)
∫
f
(
arcsin
x
)
1
1
−
x
2
d
x
=
∫
f
(
arcsin
x
)
d
(
arcsin
x
)
(
10
)
∫
f
(
arctan
x
)
1
1
+
x
2
d
x
=
∫
f
(
arctan
x
)
d
(
arctan
x
)
\begin{aligned} &(1)\ \int f(ax+b)dx=\frac1a\int f(ax+b)d(ax+b) \\ &(2)\ \int x^{m}f(ax^{m+1}+b)dx=\frac{1}{(m+1)a}\int f(ax^{m+1}+b)d(ax^{m+1}+b)\ (m\neq-1) \\ &(3)\ \int f\big(\sqrt{x}\big)\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\int f\big(\sqrt{x}\big)d\big(\sqrt{x}\big); \\ &(4)\ \int f(e^x)e^xdx=\int f(e^x)d(e^x); \\ &(5)\ \int f(\ln x)\frac{1}{x}dx=\int f(\ln x)d(\ln x) \\ &(6)\ \int f(\sin x)\cos xdx=\int f(\sin x)d(\sin x)\\ &(7)\ \int f(\cos x)\sin xdx=-\int f(\cos x)d(\cos x) \\ &(8)\ \int f(\tan x)\frac{1}{\cos^{2}x}dx=\int f(\tan x)d(\tan x)\\ &(9)\ \int f(\arcsin x)\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int f(\arcsin x)d(\arcsin x) \\ &(10)\ \int f(\arctan x)\frac{1}{1+x^{2}}dx=\int f(\arctan x)d(\arctan x)\\ \end{aligned}
(1) ∫f(ax+b)dx=a1∫f(ax+b)d(ax+b)(2) ∫xmf(axm+1+b)dx=(m+1)a1∫f(axm+1+b)d(axm+1+b) (m=−1)(3) ∫f(x
)x
dx=2∫f(x
)d(x
);(4) ∫f(ex)exdx=∫f(ex)d(ex);(5) ∫f(lnx)x1dx=∫f(lnx)d(lnx)(6) ∫f(sinx)cosxdx=∫f(sinx)d(sinx)(7) ∫f(cosx)sinxdx=−∫f(cosx)d(cosx)(8) ∫f(tanx)cos2x1dx=∫f(tanx)d(tanx)(9) ∫f(arcsinx)1−x2
1dx=∫f(arcsinx)d(arcsinx)(10) ∫f(arctanx)1+x21dx=∫f(arctanx)d(arctanx)
第二换元积分法
设
x
=
φ
(
t
)
x=\varphi(t)
x=φ(t)是单调的、可导的函数，且
φ
(
t
)
≠
0
\varphi(t)\ne0
φ(t)=0，则
∫
f
(
x
)
d
x
=
∫
f
[
φ
(
t
)
]
φ
′
(
t
)
d
t
=
F
(
t
)
+
C
=
F
[
φ
−
1
(
x
)
]
+
C
\int f(x)dx=\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt=F(t)+C=F[\varphi^{-1}(x)]+C
∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ′(t)dt=F(t)+C=F[φ−1(x)]+C 变量代换：
被积函数含有
a
2
−
x
2
\sqrt{a^2-x^2}
a2−x2
，令
x
=
a
sin
t
(
或
cos
x
)
x=a\sin t \ (或\cos x)
x=asint (或cosx)被积函数含有
a
2
+
x
2
\sqrt{a^2+x^2}
a2+x2
，令
x
=
a
tan
t
x=a\tan t
x=atant被积函数含有
x
2
−
a
2
\sqrt{x^2-a^2}
x2−a2
，令
x
=
a
sec
t
x=a\sec t
x=asect
分部积分法
公式
∫
u
v
′
d
x
=
u
v
−
∫
u
′
v
d
x
\int uv'dx=uv - \int u'vdx
∫uv′dx=uv−∫u′vdx 即
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
\int udv=uv - \int vdu
∫udv=uv−∫vdu
怎么用？—— 适用的函数类
适用于两类不同函数相乘
∫
p
n
(
x
)
e
α
x
d
x
,
∫
p
n
(
x
)
sin
α
x
d
x
,
∫
p
n
(
x
)
cos
α
x
d
x
,
∫
p
n
(
x
)
ln
x
d
x
,
∫
p
n
(
x
)
arctan
x
d
x
,
∫
p
n
(
x
)
arcsin
x
d
x
,
∫
e
α
x
sin
β
x
d
x
,
∫
e
α
x
cos
β
x
d
x
.
\begin{aligned} &\int p_{n}(x)e^{\alpha x}\operatorname{d}x,\ \int p_{n}(x)\sin\alpha x\operatorname{d}x,\ \int p_{n}(x)\cos\alpha xdx,\ \int p_{n}(x)\ln xdx,\\ &\int p_{n}(x)\arctan xdx, \ \int p_{n}(x)\arcsin xdx,\ \int e^{\alpha x}\sin\beta xdx,\ \int e^{\alpha x}\cos\beta xdx. \end{aligned}
∫pn(x)eαxdx, ∫pn(x)sinαxdx, ∫pn(x)cosαxdx, ∫pn(x)lnxdx,∫pn(x)arctanxdx, ∫pn(x)arcsinxdx, ∫eαxsinβxdx, ∫eαxcosβxdx.
p
n
(
x
)
p_{n}(x)
pn(x)为
x
x
x的
n
n
n次多项式。
如何用？—— u, v 的选取
∫
p
n
(
x
)
e
α
x
d
x
,
∫
p
n
(
x
)
sin
α
x
d
x
,
∫
p
n
(
x
)
cos
α
x
d
x
\displaystyle\int p_{n}(x)e^{\alpha x}\operatorname{d}x,\ \int p_{n}(x)\sin\alpha x\operatorname{d}x,\ \int p_{n}(x)\cos\alpha xdx
∫pn(x)eαxdx, ∫pn(x)sinαxdx, ∫pn(x)cosαxdx 把多项式以外的函数凑进微分号。
∫
e
α
x
sin
β
x
d
x
,
∫
e
α
x
cos
β
x
d
x
\displaystyle\int e^{\alpha x}\sin\beta xdx,\ \int e^{\alpha x}\cos\beta xdx
∫eαxsinβxdx, ∫eαxcosβxdx 把指数函数（更简单）或三角函数凑进微分号。
∫
p
n
(
x
)
ln
x
d
x
,
∫
p
n
(
x
)
arctan
x
d
x
,
∫
p
n
(
x
)
arcsin
x
d
x
\displaystyle\int p_{n}(x)\ln xdx,\ \int p_{n}(x)\arctan xdx,\ \int p_{n}(x)\arcsin xdx
∫pn(x)lnxdx, ∫pn(x)arctanxdx, ∫pn(x)arcsinxdx 把多项式函数凑进微分号。
三种常见“积不出”的积分
有原函数，但原函数不是初等函数，无法用基本初等函数经过加减乘除和复合表示出来，往往在二重积分出现。
{
∫
e
x
2
d
x
∫
sin
x
x
d
x
∫
cos
x
x
d
x
\begin{aligned} \begin{cases} &\displaystyle\int e^{x^2}dx\\ &\displaystyle\int\frac{\sin x}{x}dx\\ &\displaystyle\int\frac{\cos x}{x}dx \end{cases} \end{aligned}
⎩
⎨
⎧∫ex2dx∫xsinxdx∫xcosxdx
三类常见可积函数积分
有理函数积分
∫
R
(
x
)
d
x
\displaystyle\int R(x)\mathrm{d}x
∫R(x)dx
一般法（部分分式法）特殊方法（加项减项拆或凑微分降幂) 三角有理式积分
∫
R
(
sin
x
,
cos
x
)
d
x
\displaystyle\int R(\sin x,\cos x)dx
∫R(sinx,cosx)dx
一般方法（万能代换） 令
tan
x
2
=
t
\tan\displaystyle\frac x2=t
tan2x=t
∫
R
(
sin
x
,
cos
x
)
d
x
=
∫
R
(
2
t
1
+
t
2
,
1
−
t
2
1
+
t
2
)
2
1
+
t
2
d
t
\int R(\sin x,\cos x)dx=\int R(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\frac2{1+t^2}dt
∫R(sinx,cosx)dx=∫R(1+t22t,1+t21−t2)1+t22dt特殊方法（三角变形，换元，分部）
若
R
(
−
sin
x
,
cos
x
)
=
−
R
(
sin
x
,
cos
x
)
R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)
R(−sinx,cosx)=−R(sinx,cosx)，则令
u
=
cos
x
u=\cos x
u=cosx，或凑
d
cos
x
d\cos x
dcosx若
R
(
sin
x
,
−
cos
x
)
=
−
R
(
sin
x
,
cos
x
)
R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)
R(sinx,−cosx)=−R(sinx,cosx)，则令
u
=
sin
x
u=\sin x
u=sinx，或凑
d
sin
x
d\sin x
dsinx若
R
(
−
sin
x
,
−
cos
x
)
=
R
(
sin
x
,
cos
x
)
R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)
R(−sinx,−cosx)=R(sinx,cosx)，则令
u
=
tan
x
u=\tan x
u=tanx，或凑
d
tan
x
d\tan x
dtanx 简单无理函数积分
∫
R
(
x
,
a
x
+
b
c
x
+
d
n
)
d
x
\displaystyle\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx
∫R(x,ncx+dax+b
)dx
令
a
x
+
b
c
x
+
d
n
=
t
\displaystyle\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t
ncx+dax+b
=t.
个人笔记，如有错误，烦请指正